Има ли реална, концептуална разлика между рационални и ирационални числа или разликите са артефакт на нашата система за номериране?


Отговор 1:

Концептуалната разлика между двете е огромна. Рационалните числа се дефинират чисто алгебрично: започвате с пръстена от цели числа (който е най-малкият пръстен, в който има елемент от безкраен ред - а именно число 1) и вземате полето му от дроби. Това е ограничена, чисто алгебрична процедура. Не се изискват концепции за анализ (като граници, конвергенция и т.н.). Но за да определим реалните числа се нуждаем от анализ. По-конкретно, ние се нуждаем от понятието „метрика“ върху полето на реалните числа (което е математическа формализация на понятието разстояние) и понятието „попълване на поле по отношение на метрика“. Наборът от реални числа се определя като попълване на полето на рационални числа, относително спрямо стандартния (архимед) показател. По-конкретно, това е наборът от класове на еквивалентност на „последователностите на Коши“ на рационални числа в сравнение със стандартния метрик (всъщност е поле).

Наборът от рационални числа естествено е включен в множеството от реални числа: всяко рационално число x поражда постоянна последователност на Коши (x, x, x, x,…). Допълнението на множеството рационални числа в множеството реални числа е множеството, наречено множеството от ирационални числа. Конкретно можем да представим всяко реално число в десетична форма. Това е само особен начин за запис на последователност на Коши от това число (а именно последователността Коши, съответстваща на десетично представяне на реално число, е последователността на първите му n цифри, за всички n). Но самото понятие за реални числа (а оттам и ирационални числа) няма нищо общо с конкретен начин на представяне на числата. Например, можем да използваме вместо това двоична форма или друга база „k“. Това е само въпрос на представителство. Понятието за реално число се определя независимо от всяко конкретно представяне.

След като разгледате това определение, става ясно колко по-сложни са ирационалните числа от рационалните числа. Рационалните и ирационални числа НЕ са две страни на една и съща монета в никакъв смисъл. Например, бившият набор е счетлив, а вторият не (това е заключението на диагоналния аргумент на известния Кантор). Рационалните числа образуват поле (това е подполе на полето на реалните числа), но ирационалните числа не го правят.

Искам също да спомена, че тези две концепции имат много аналогични в математиката. Можем да започнем с всеки пръстен, вместо с пръстен от цели числа; например пръстенът на цели числа на Гаус (a + bi), където i е квадратният корен на -1, и поема полето му от дроби. След това можем да въведем показател в това поле и да вземем неговото попълване. В случая на гаусските цели числа, ако вземем стандартния (архимед) показател, получаваме като попълване полето на сложни числа. Има още едно обобщение: в допълнение към архимедовата метрика върху полето на рационалните числа (или полето на дроби на друг пръстен, като такъв на пръстена от цели числа на Гаус), съществуват и други показатели. Например, за полето на рационалните числа има така наречените p-адични метрики за всяко просто число p. Попълването на полето на рационални числа по отношение на p-адичната метрика се нарича поле на p-адични числа. Те са също толкова интересни за изучаване, колкото полетата с реални и сложни числа, и през последните 100 години имаше много изследвания в тази област. И така, вашият въпрос ни води към някои наистина завладяващи идеи и конструкции. (За повече информация, само Google концепциите, които съм подчертал по-горе.)


Отговор 2:

Да.

Щом ги определите, те са доста различни. Рационалните числа са онези числа, които могат да бъдат изразени като съотношение на две цели числа. Ирационалните числа са тези, които не могат. Обикновено е по-лесно да се изчисли и манипулира произволно рационално число, защото щом разбера, че имам, мога да го запиша по начин, подлежащ на събиране, умножение, изваждане и деление. Иррационалите не се държат толкова добре.

Фактът, че имат мултипликативни обрати, ги прави поле. При горепосочените операции те също са затворени. Можете да умножите две ирационални числа и да завършите с рационално - ирационалите кървят по начин, който рационалните не го правят.

Освен това безкрайностите им се чувстват (и наистина са) доста различни. Единият е схващащата се, разбираема, почти видима безкрайност на преброяващите числа, а другата е неразбираемата плътност на континуума.

Сигурен съм, че има още; знанията ми са ограничени, но тези са най-очевидни.


Отговор 3:

Да.

Щом ги определите, те са доста различни. Рационалните числа са онези числа, които могат да бъдат изразени като съотношение на две цели числа. Ирационалните числа са тези, които не могат. Обикновено е по-лесно да се изчисли и манипулира произволно рационално число, защото щом разбера, че имам, мога да го запиша по начин, подлежащ на събиране, умножение, изваждане и деление. Иррационалите не се държат толкова добре.

Фактът, че имат мултипликативни обрати, ги прави поле. При горепосочените операции те също са затворени. Можете да умножите две ирационални числа и да завършите с рационално - ирационалите кървят по начин, който рационалните не го правят.

Освен това безкрайностите им се чувстват (и наистина са) доста различни. Единият е схващащата се, разбираема, почти видима безкрайност на преброяващите числа, а другата е неразбираемата плътност на континуума.

Сигурен съм, че има още; знанията ми са ограничени, но тези са най-очевидни.


Отговор 4:

Да.

Щом ги определите, те са доста различни. Рационалните числа са онези числа, които могат да бъдат изразени като съотношение на две цели числа. Ирационалните числа са тези, които не могат. Обикновено е по-лесно да се изчисли и манипулира произволно рационално число, защото щом разбера, че имам, мога да го запиша по начин, подлежащ на събиране, умножение, изваждане и деление. Иррационалите не се държат толкова добре.

Фактът, че имат мултипликативни обрати, ги прави поле. При горепосочените операции те също са затворени. Можете да умножите две ирационални числа и да завършите с рационално - ирационалите кървят по начин, който рационалните не го правят.

Освен това безкрайностите им се чувстват (и наистина са) доста различни. Единият е схващащата се, разбираема, почти видима безкрайност на преброяващите числа, а другата е неразбираемата плътност на континуума.

Сигурен съм, че има още; знанията ми са ограничени, но тези са най-очевидни.