Каква е разликата между лагранжец и хамилтонец?


Отговор 1:

Предполагам, че не сте изучавали аналитична механика или механика на 4-та година или завършил ниво. Това е мястото, където ще вземете съответните елементи от изчислението на вариациите, за да разберете това.

 

Лагрангиецът и хамилтонецът предоставят алтернативни, но еквивалентни описания на физическа система. Те са свързани с математическа трансформация, наречена „Легендарна трансформация“. По принцип всеки проблем, който може да бъде формулиран с помощта на лагранжец, може да се трансформира в еквивалентен проблем с помощта на хамилтониан и обратно. Изборът между използването на едно или друго се свежда до това, който дава проблем, който е по-лесен за справяне с математическия.

 

При изучаването на математиката на оптимизацията двата проблема ще бъдат наречени "дуали" един на друг. Всъщност целият брой на лагранги и хамилтонианци става по-ясен, когато математиката на оптимизацията се държи ясно предвид. Въпреки това, начинът, по който физиката често се представя, аспектът на оптимизация на физическия проблем може да дойде и да премине с един вид скорост „ако мигнеш, ще ти липсва“.


Отговор 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


Отговор 3:

По някакъв начин няма фундаментална разлика между Нютоновата механика, Лагрангийската механика и Хамилтоновата механика. Всички те ще ви предоставят еквивалентни решения за еволюцията на времето в системата. Лагрангийският и хилтоновият са легендарни трансформации един на друг. По същество Lagrangian ви позволява да работите в конфигурационно пространство, а Hamiltonian ви позволява да работите във фазово пространство. Кой от тях използвате за даден проблем наистина просто се свежда до кой е по-удобен или по-лесен за решаване. За система с конфигурационно пространство на измерение n, уравненията на Хамилтън са набор от 2n, свързани, диференциални уравнения от първи ред, докато уравненията на Ойлер-Лагранж са набор от n несвързани диференциални уравнения от втори ред.


Отговор 4:

В нерелятивистката квантова механика Хамилтоновият оператор е онова, което напредва състоянието на системата напред във времето. Ето защо имате уравнението

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Малко по-технически начин да го кажем е „Хамилтоновият оператор е генераторът на превод на време“.

От друга страна, когато преминете към квантовата теория на полето, една основна цел е да гарантирате, че всичко е в съответствие с относителността - с други думи, бихте искали теорията да е изрично Лоренц-инвариантна. Както може би сте забелязали, хамилтонианът (и всъщност цялата концепция на уравнението на Шрьодингер) е * не * изрично инвариант на Лоренц, просто защото отделя времето навън от пространствените координати като нещо специално. Освен това, както може би си спомняте от Lagrangian Mechanics, на първо място се стига до хамилтонианът, като изпълнява Legendre Transform на Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Което отново конкретно отделя тайм аут като нещо специално. В QFT не искате това. Това ни връща към концепцията за лагранжевата плътност, която лесно * може да бъде направена изрично Лоренц-инвариантна. Например, най-простият възможен QFT е скаларната теория за свободното поле и има следната лагрангова плътност:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Тъй като индексите съвпадат правилно, това количество очевидно е непроменено по време на трансформацията на Лоренц и затова цялата физика, получена от този момент нататък, също е добра. Това е основната причина лагранжевата плътност да се използва на мястото на хамилтоновата плътност в QFT.

Трябва да се отбележи, че * е възможно да се използва хамилтонова плътност в релативистката QFT, но тя е много по-сложна поради изричното разделяне на пространството и времето на Хамилтониан, така че обикновено се изхвърля в полза на лагранговата плътност.

EDIT: Моят отговор беше обединен с различен въпрос - обяснението на първоначалния въпрос, на който отговорих конкретно, спомена използването на хамилтоновия оператор в нерелативистката квантова механика спрямо използването на плътността на Лагрангиан във физиката на частиците / теорията на квантовото поле.


Отговор 5:

В нерелятивистката квантова механика Хамилтоновият оператор е онова, което напредва състоянието на системата напред във времето. Ето защо имате уравнението

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Малко по-технически начин да го кажем е „Хамилтоновият оператор е генераторът на превод на време“.

От друга страна, когато преминете към квантовата теория на полето, една основна цел е да гарантирате, че всичко е в съответствие с относителността - с други думи, бихте искали теорията да е изрично Лоренц-инвариантна. Както може би сте забелязали, хамилтонианът (и всъщност цялата концепция на уравнението на Шрьодингер) е * не * изрично инвариант на Лоренц, просто защото отделя времето навън от пространствените координати като нещо специално. Освен това, както може би си спомняте от Lagrangian Mechanics, на първо място се стига до хамилтонианът, като изпълнява Legendre Transform на Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Което отново конкретно отделя тайм аут като нещо специално. В QFT не искате това. Това ни връща към концепцията за лагранжевата плътност, която лесно * може да бъде направена изрично Лоренц-инвариантна. Например, най-простият възможен QFT е скаларната теория за свободното поле и има следната лагрангова плътност:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Тъй като индексите съвпадат правилно, това количество очевидно е непроменено по време на трансформацията на Лоренц и затова цялата физика, получена от този момент нататък, също е добра. Това е основната причина лагранжевата плътност да се използва на мястото на хамилтоновата плътност в QFT.

Трябва да се отбележи, че * е възможно да се използва хамилтонова плътност в релативистката QFT, но тя е много по-сложна поради изричното разделяне на пространството и времето на Хамилтониан, така че обикновено се изхвърля в полза на лагранговата плътност.

EDIT: Моят отговор беше обединен с различен въпрос - обяснението на първоначалния въпрос, на който отговорих конкретно, спомена използването на хамилтоновия оператор в нерелативистката квантова механика спрямо използването на плътността на Лагрангиан във физиката на частиците / теорията на квантовото поле.


Отговор 6:

В нерелятивистката квантова механика Хамилтоновият оператор е онова, което напредва състоянието на системата напред във времето. Ето защо имате уравнението

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Малко по-технически начин да го кажем е „Хамилтоновият оператор е генераторът на превод на време“.

От друга страна, когато преминете към квантовата теория на полето, една основна цел е да гарантирате, че всичко е в съответствие с относителността - с други думи, бихте искали теорията да е изрично Лоренц-инвариантна. Както може би сте забелязали, хамилтонианът (и всъщност цялата концепция на уравнението на Шрьодингер) е * не * изрично инвариант на Лоренц, просто защото отделя времето навън от пространствените координати като нещо специално. Освен това, както може би си спомняте от Lagrangian Mechanics, на първо място се стига до хамилтонианът, като изпълнява Legendre Transform на Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Което отново конкретно отделя тайм аут като нещо специално. В QFT не искате това. Това ни връща към концепцията за лагранжевата плътност, която лесно * може да бъде направена изрично Лоренц-инвариантна. Например, най-простият възможен QFT е скаларната теория за свободното поле и има следната лагрангова плътност:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Тъй като индексите съвпадат правилно, това количество очевидно е непроменено по време на трансформацията на Лоренц и затова цялата физика, получена от този момент нататък, също е добра. Това е основната причина лагранжевата плътност да се използва на мястото на хамилтоновата плътност в QFT.

Трябва да се отбележи, че * е възможно да се използва хамилтонова плътност в релативистката QFT, но тя е много по-сложна поради изричното разделяне на пространството и времето на Хамилтониан, така че обикновено се изхвърля в полза на лагранговата плътност.

EDIT: Моят отговор беше обединен с различен въпрос - обяснението на първоначалния въпрос, на който отговорих конкретно, спомена използването на хамилтоновия оператор в нерелативистката квантова механика спрямо използването на плътността на Лагрангиан във физиката на частиците / теорията на квантовото поле.


Отговор 7:

В нерелятивистката квантова механика Хамилтоновият оператор е онова, което напредва състоянието на системата напред във времето. Ето защо имате уравнението

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Малко по-технически начин да го кажем е „Хамилтоновият оператор е генераторът на превод на време“.

От друга страна, когато преминете към квантовата теория на полето, една основна цел е да гарантирате, че всичко е в съответствие с относителността - с други думи, бихте искали теорията да е изрично Лоренц-инвариантна. Както може би сте забелязали, хамилтонианът (и всъщност цялата концепция на уравнението на Шрьодингер) е * не * изрично инвариант на Лоренц, просто защото отделя времето навън от пространствените координати като нещо специално. Освен това, както може би си спомняте от Lagrangian Mechanics, на първо място се стига до хамилтонианът, като изпълнява Legendre Transform на Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Което отново конкретно отделя тайм аут като нещо специално. В QFT не искате това. Това ни връща към концепцията за лагранжевата плътност, която лесно * може да бъде направена изрично Лоренц-инвариантна. Например, най-простият възможен QFT е скаларната теория за свободното поле и има следната лагрангова плътност:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Тъй като индексите съвпадат правилно, това количество очевидно е непроменено по време на трансформацията на Лоренц и затова цялата физика, получена от този момент нататък, също е добра. Това е основната причина лагранжевата плътност да се използва на мястото на хамилтоновата плътност в QFT.

Трябва да се отбележи, че * е възможно да се използва хамилтонова плътност в релативистката QFT, но тя е много по-сложна поради изричното разделяне на пространството и времето на Хамилтониан, така че обикновено се изхвърля в полза на лагранговата плътност.

EDIT: Моят отговор беше обединен с различен въпрос - обяснението на първоначалния въпрос, на който отговорих конкретно, спомена използването на хамилтоновия оператор в нерелативистката квантова механика спрямо използването на плътността на Лагрангиан във физиката на частиците / теорията на квантовото поле.


Отговор 8:

В нерелятивистката квантова механика Хамилтоновият оператор е онова, което напредва състоянието на системата напред във времето. Ето защо имате уравнението

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

От друга страна, когато преминете към квантовата теория на полето, една основна цел е да гарантирате, че всичко е в съответствие с относителността - с други думи, бихте искали теорията да е изрично Лоренц-инвариантна. Както може би сте забелязали, хамилтонианът (и всъщност цялата концепция на уравнението на Шрьодингер) е * не * изрично инвариант на Лоренц, просто защото отделя времето навън от пространствените координати като нещо специално. Освен това, както може би си спомняте от Lagrangian Mechanics, на първо място се стига до хамилтонианът, като изпълнява Legendre Transform на Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Което отново конкретно отделя тайм аут като нещо специално. В QFT не искате това. Това ни връща към концепцията за лагранжевата плътност, която лесно * може да бъде направена изрично Лоренц-инвариантна. Например, най-простият възможен QFT е скаларната теория за свободното поле и има следната лагрангова плътност:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Тъй като индексите съвпадат правилно, това количество очевидно е непроменено по време на трансформацията на Лоренц и затова цялата физика, получена от този момент нататък, също е добра. Това е основната причина лагранжевата плътност да се използва на мястото на хамилтоновата плътност в QFT.

Трябва да се отбележи, че * е възможно да се използва хамилтонова плътност в релативистката QFT, но тя е много по-сложна поради изричното разделяне на пространството и времето на Хамилтониан, така че обикновено се изхвърля в полза на лагранговата плътност.

EDIT: Моят отговор беше обединен с различен въпрос - обяснението на първоначалния въпрос, на който отговорих конкретно, спомена използването на хамилтоновия оператор в нерелативистката квантова механика спрямо използването на плътността на Лагрангиан във физиката на частиците / теорията на квантовото поле.


Отговор 9:

В нерелятивистката квантова механика Хамилтоновият оператор е онова, което напредва състоянието на системата напред във времето. Ето защо имате уравнението

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Малко по-технически начин да го кажем е „Хамилтоновият оператор е генераторът на превод на време“.

От друга страна, когато преминете към квантовата теория на полето, една основна цел е да гарантирате, че всичко е в съответствие с относителността - с други думи, бихте искали теорията да е изрично Лоренц-инвариантна. Както може би сте забелязали, хамилтонианът (и всъщност цялата концепция на уравнението на Шрьодингер) е * не * изрично инвариант на Лоренц, просто защото отделя времето навън от пространствените координати като нещо специално. Освен това, както може би си спомняте от Lagrangian Mechanics, на първо място се стига до хамилтонианът, като изпълнява Legendre Transform на Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Което отново конкретно отделя тайм аут като нещо специално. В QFT не искате това. Това ни връща към концепцията за лагранжевата плътност, която лесно * може да бъде направена изрично Лоренц-инвариантна. Например, най-простият възможен QFT е скаларната теория за свободното поле и има следната лагрангова плътност:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Тъй като индексите съвпадат правилно, това количество очевидно е непроменено по време на трансформацията на Лоренц и затова цялата физика, получена от този момент нататък, също е добра. Това е основната причина лагранжевата плътност да се използва на мястото на хамилтоновата плътност в QFT.

Трябва да се отбележи, че * е възможно да се използва хамилтонова плътност в релативистката QFT, но тя е много по-сложна поради изричното разделяне на пространството и времето на Хамилтониан, така че обикновено се изхвърля в полза на лагранговата плътност.

EDIT: Моят отговор беше обединен с различен въпрос - обяснението на първоначалния въпрос, на който отговорих конкретно, спомена използването на хамилтоновия оператор в нерелативистката квантова механика спрямо използването на плътността на Лагрангиан във физиката на частиците / теорията на квантовото поле.